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程序说明：重离子熔合反应的宏观动力学模拟

势能曲面（PES）的构造与 (D, α) 阻尼拉格朗日演化方程 · 含自洽轨道惯量（v2.3）、Cassini 出射形状族与 WS4 锚定壳修正 · 面向使用者的原理说明

目录
1. 程序概览 2. 坐标与形状 3. 势能曲面 3.6 Cassini 修正 3.7 WS4 壳修正 4. 动力学演化方程 5. 数值实现 6. 参数与输出 7. 适用性与局限 8. 参考

1. 程序概览

本程序模拟两个重离子从无穷远靠近、接触、可能熔合或再分离（准裂变/快裂变/ 准弹性）的全过程。模型把体系压缩为两个集体坐标：

D：分离度（两瓣中心的距离，以瞬时瓣半径为单位，完全并合 D=0）；
α：质量不对称，α=(A₁−A₂)/(A₁+A₂)。

核形状随 (D, α) 沿体积守恒的形状族演化（两瓣混合族；出射道可切到 Cassini 族）；相对运动与质量转移在势能曲面 V(D, α) 上做带阻尼的拉格朗日演化，并计入轨道角动量与离心力。两个互相独立的开关改进物理：

Cassini 修正：把再分离（出射道）的势能换成更准确的 Cassini 裂变势能面，取 min(V₁, V₂) 并在转向点做光滑衔接；
WS4 壳修正：在裂变/出射支叠加 WS4 锚定的壳修正 δU(D, α)（v2.2 起）；入射道 BW91* 俘获垒不受影响。

此外 v2.3 起动力学改用自洽的轨道惯量与初条件——窗口惯量 I(D)、渐近碰撞参数 b、接触门控摩擦、纯 BW91* 有效垒俘获判据，使临界碰撞参数 b_max 与经典 BW91* 俘获截面一致（详见 §4）。

判据与读数：俘获判据为纯 BW91* 有效垒（D_min < D̄(L)，给出 t_cap）；若轨迹出现 |α| ≥ 0.9 且 R < R_B（R 为两核质心距， R_B 为入射道库仑垒半径），判定弹靶全俘获（将形成复合核），动力学在该时刻终止。

2. 坐标与形状

2.1 两瓣混合形状（TwoLobeDyn）

两瓣各为半径由质量决定的球，中心位于 ±c_i，用 p 范数光滑混合成单一回转体（避免人为颈部）：

R₁ = (1+α)^1/3，R₂ = (1−α)^1/3， c₁ = D·R₁/(R₁+R₂)， c₂ = D·R₂/(R₁+R₂)

f_i(z) = [ 1 − ((z ∓ c_i)/R_i)² ]^1/2， u(z) = [ ( (R₁f₁)^p + (R₂f₂)^p ) / 2 ]^1/p， p = 4

单位形状按体积守恒整体缩放：s = (V₀ / V_unit)^1/3， ρ(z) = s·u(z)， V₀ = (4π/3)R₀³，R₀ = r₀A^1/3。接触条件 D ≤ R₁+R₂。物理距离 R = D·s(D,α)（用于 BW91* 与库仑）。

p 越大混合越接近"取大"，瓣与颈越分明；p=4 兼顾光滑与颈部形态。

2.2 质量不对称的物理意义

α=0 为对称；α₀=(A₁−A₂)/A 为入射道不对称。质量转移使 α 演化，从而改变碎片质量与电荷分配。α 在动力学中夹在 ±0.95；势能面网格覆盖 α∈[−0.9, 0.9]（轻弹核+重靶的 |α₀|>0.9 体系超出该范围）。

3. 势能曲面 V(D, α)

入射/合并支为两条支路的下包络（hybrid lower envelope）：

V₁(D,α) = min[ V_LDM(D,α) + V_lift， V_BW91*(D,α) ] − E_∞ (1)

远距离时核力 BW91* 与库仑主导（入射道）；贴近/成颈时液滴项主导（内部/裂变道）。出射支（勾选 Cassini 或 WS4 时）为 V₂ = V_Cassini + δU_WS4，再取 V_exit = min(V₁, V₂)。

3.1 液滴模型能量 V_LDM

轴对称液滴，表面能 + 库仑能：

E_s = 2π σ ∫ ρ(z) [ 1 + (dρ/dz)² ]^1/2 dz， σ = a_s / (4π r₀²)，a_s=17.9 MeV，r₀=1.2 fm(2)

E_C = (e²/2) ∫ d³r d³r′ ρ_e(r)ρ_e(r′)/|r−r′|， ρ_e 由总电荷 Z 归一(3)

库仑项用轴对称多极展开数值计算（径向 × 角向网格，l ≤ l_max；球面解析检验：表面能误差 <0.01%、库仑能 ≈0.2%）。

3.2 BW91* 核势与库仑

采用改进的 Broglia-Winther 核势（BW91*）与点核库仑：

R_i = 1.233 A_i^1/3 − 0.98 / A_i^1/3， I_i = (A_i−2Z_i)/A_i， γ = 0.95 (1 − 1.8 I₁I₂)

R_N = R₁+R₂+0.29， a = 0.63 fm， R₁₂ = R₁R₂/(R₁+R₂)

V_N(r) = [ V₀ + V₁ (R_N/r)⁴ ] · f(r)， V₀ = −16π R₁₂ γ a， V₁ = 1.34 R₁₂²， f = 1/[1+e^(r−R_N)/a]

V_C(r) = Z₁Z₂e²/r (r ≥ R_c)； = ½ Z₁Z₂e²[3 − (r/R_c)²]/R_c (r < R_c)， R_c = R₁+R₂

俘获垒 V_B = max_{r>R_c}[V_N+V_C]，垒半径 R_B = argmax。⁵⁴Cr+²⁴³Am 的 V_B=236.23 MeV，俘获口袋 B_cap=3.27 MeV。

3.3 电荷锚定（v2.3.2 局部化）

碎片电荷取质荷平衡 Z_i = Z·A_i/A，再叠加一个局域入道锚定修正，使 α=α₀ 处严格回到真实弹靶电荷：

Z₁(α) = Z(1+α)/2 + ΔZ·(α/α₀)·exp[−((α−α₀)/σ)²]， ΔZ = Z₁^entr − Z(1+α₀)/2， σ=0.25(4)

该式在 α=α₀ 精确等于 Z₁^entr、在 α=0 给出 Z/2、远离入口衰减回质荷平衡，且始终有界。旧式权重 (α/α₀)² 在 |α|→0.9 且 |α₀| 很小时发散，会把 Z₁ 推出 [0,Z]（⁴⁰Ca+⁴⁸Ca 在 α=±0.9 得 Z₁≈180、Z₂≈−140）， Z₁Z₂<0 的赝吸引库仑项于是在 D≈0.4、|α|≈0.9 形成假深谷；本版本用高斯包络消除之。对称或质荷平衡体系（α₀=0 或 ΔZ=0）自动退化为 Z(1+α)/2。

3.4 谷修正（valley lift）

两瓣混合族在紧致区可能低于真实液滴谷。程序对每个 α、在接触内，把 V_LDM 抬升到同伸长（ξ=z_max/R₀）的精确长椭球液滴谷 E_spheroid(ξ) （由 101 点椭球能量表给出，ξ∈[1, 3.5]）权重为高斯 w=exp[−(α/0.30)²]：

若 E_sph > V_LDM： V_LDM ← V_LDM + w·(E_sph − V_LDM)(5)

3.5 下包络与分支切换线

按 (1) 式取 min。图中白色虚线即两分支的分界线 D_sw(α)：其左侧 V_LDM 更低（已进入液滴/内部区），右侧 V_BW91* 更低（入射道）。 D_sw 是 Cassini 出射衔接的触发线（见 §3.6）；v2.3 的俘获判据改用纯 BW91* 有效垒 D̄(L)（见 §4.4），D_sw 仅在 --legacy-capture 时作为回退判据。

3.6 Cassini 修正（可选，v2.1 起）

液滴项在裂变/再分离区用 Cassini 卵形线形状族（Pashkevich 双纽线坐标）：

ρ = (1/√2)√( p − R²(2x²−1) − s )， z = sgn(x)(1/√2)√( p + R²(2x²−1) + s )， p² = R⁴ + 2sR²(2x²−1) + s²， s = εR₀²，ε = α_elong

α_elong=0 为球，=1 颈半径为零（断点），>1 为两分离卵形；质量不对称由独立碎片体积（体积比 (1+α)/(1−α)）通过保体积径向拉伸实现。

出射势能取两族的下包络：

V_exit(D,α) = min[ V₁(D,α)， V_{Cassini-hybrid}(D,α) ](6)

V_{Cassini-hybrid} = min[ V_{Cassini LDM} + δU_WS4， V_BW91* ](7)

触发条件：只有当"最趋近距离进入两瓣/LDM 内部区"时才启用，即 D_min < D_sw(α)（分支切换线）(8)。启用后在转向点 t_switch 之后按

w(t) = smoothstep((t−t_switch)/t_conn)， V = (1−w)·V₁ + w·V_exit，形状 ρ = (1−w)ρ_两瓣 + w·ρ_Cassini

光滑混合（默认 t_conn=150 fm/c），使势能与形状都连续、无跳变。不勾选时全程使用 V₁。

3.7 WS4 锚定壳修正 δU(D, α)（v2.2 起，可选）

纯宏观势能面缺少壳结构：超重核的裂变垒、鞍点位置与碎片壳效应都缺失。本版本在出射/裂变支叠加一个由 WS4 质量模型锚定的壳修正面 δU(D, α)（页面对任意弹靶在线构造；Python 侧由 shell_exit_analytic.py 生成 shell_exit_<A>_<Z>.npz）：

要素	构造
复合核锚（D→0）	E_sh^CN = WS4(A,Z)；并乘以衰减因子 h(α)（\|α\|<0.45 为 1，到 \|α\|=0.9 衰减为 0）
碎片锚（大 D）	Σ_i WS4(A_i,Z_i)（双线性插值 A_i, Z_i）
距离过渡	φ = smoothstep(D/D_c)（D_c=接触半径）， base = E_sh^CNh + [frag − E_sh^CNh]·φ
鞍点凸起	高斯窗（中心 D_sad = clamp(D_sw(0) − 0.50)，宽 σ=0.30，形状 bump = 4φ_W(1−φ_W)），幅度 dB 由二分迭代定出，使对称谷总垒 = Bf_WS4
作用范围	只加在 LDM / Cassini 裂变支（不加在 BW91* 入射势上）→ 俘获垒与 v2.1 完全相同

V_LDM ← V_LDM + δU(D,α)， δU = base + bump，对称谷总垒(α=0) = Bf_WS4(9)

数据来源：页面加载 ws4_table.js（window.WS4_TABLE： 10237 项，A=16–350、Z=8–132，壳修正 ∈[−12.4, +6.3] MeV）与 bf_ws4_table.js（window.BF_WS4：7178 项，A=95–350、Z=51–120，垒高 ∈[0, 59.9] MeV）；碎片锚用双线性插值，随 (D,α) 网格做 5 点光滑。若宏观势垒本身已高于 Bf_WS4（轻体系），程序采用退化处理（只保留锚定，不加反向凸起）。

与 Cassini 开关相互独立：可单独开壳修正、单独开 Cassini、或两者同开（叠加在 Cassini 裂变支上）。

4. 动力学演化方程

4.1 态矢量与惯性

动力学变量为 y = (D, α, v_D, v_α, θ, L)。质量参量与惯量：

μ₀ = A₁A₂/A · m_N， B_D = μ₀ s₀²， B_α = 5 A m_N， I_comp = 0.4 A m_N R₀²

（s₀ 为入道体积标度；m_N=931.494 MeV/c²。 B_α 取 5A m_N 反映核子流经细颈时受限。）

v2.3 质量参量/惯量的改动。 离心项中的转动惯量改为窗口形式：

I(D) = I_comp χ(D) + B_D D²， χ(D) = exp[−(D/D_c)²]， D_c = 0.8 fm

刚体复合核惯量 I_comp 只在并合区保留：D→0 时 I→I_comp 且 I′(0)=0（无奇点）；垒区 χ(D_B)≈0，I≈B_DD²，离心垒回到经典值。 v2.2 的 I = I_comp + B_DD² 可用 --legacy-inertia 恢复。

4.2 运动方程

在 V(D,α) 上写阻尼拉格朗日方程。径向与质量转移自由度均含接触限位的摩擦，转动给出离心力与角动量耗散：

dD/dt = v_D， dα/dt = v_α(10)

B_D dv_D/dt = −∂V/∂D + F_cent − γ_D(D) v_D， F_cent = −∂/∂D[L²/(2I(D))] = ½ L² I′(D)/I(D)²(11)

B_α dv_α/dt = −∂V/∂α·[接触] − γ_α(D) v_α·[接触](12)

dθ/dt = L / I(D)， dL/dt = −L·f_c(D)/τ_t·[接触](13)

[接触] ≡ (D ≤ R₁+R₂)， f_c(D) = max(0, 1 − 0.5D)， γ_D = (B_D/τ_D) f_c·[接触]， γ_α = (B_α/τ_α) f_c·[接触]

默认 τ_D=200 fm/c（弱一体耗散），τ_α=20 fm/c（强阻尼 → 质量趋于平衡）， τ_t=3000 fm/c（切向/粘滞摩擦；设 >10⁶ fm/c 即关闭 → 轨道角动量守恒）。这三个耗散时间在网页上可调（点"耗散时间"按钮展开输入框 τ_D/τ_α/τ_t，默认隐藏），网页与 Python 默认一致， Python 侧对应 --tau-D / --tau-a / --tau-t。α 的驱动力与摩擦仅在接触时开启，分离后质量冻结。v2.3 起径向摩擦也严格门控在接触内（D>R₁+R₂ 时 γ_D=0），避免垒区伪耗散； --legacy-friction 恢复旧式 f_c。

质心重合（D=0）的前向穿越（v2.3.1：每次穿越都转 π）。 当入射能量较高、碰撞参数较小时，体系可到达 D=0（两核中心重合），甚至多次穿过原点（振荡的并合体系，轻体系如 ⁴⁸Ca+⁹⁶Zr 在高能下常见）。相对矢量 r=D(cosθ, sinθ) 的极角在每次穿过原点时跳 π，故程序在每次真实穿越（上一步 D>0、本步 D≤0）时都执行：

D = 0 → θ ← θ + π （每次穿越，出射方向 +180°）

这使多次重合时形状取向连续、动画不再"碰壁"；若到达原点前被挡回（D_min>0），则保持"反弹"（后角出射）。θ 是随动坐标（dθ/dt=L/I，不反馈到 D、α、L），故不影响能量、质量漂移与俘获判据，与 Cassini / WS4 修正亦相互独立。偏转角仍按 θ_def=|π−Δθ| 计算；对多次穿越/完全并合体系它会随穿越次数累加（|π−nπ|），此时已不是干净的散射观测量。

4.3 初始条件（v2.3：渐近碰撞参数 b）

给定弹靶、碰撞参数 b 与 E_cm=因子·V_B。v2.3 起 b 为 渐近碰撞参数，起始点为真实物理距离 R₀=D₀s₀ （轻体系 D₀ 受网格限制时 R₀≠30 fm）：

v_∞ = √(2E_cm/μ₀)， L = μ₀ v_∞ b， KE_rad(R₀) = E_cm − V(R₀,α₀) − L²/(2μ₀R₀²)

v_D(0) = −√(2·max(KE_rad,0)/μ₀)/s₀， α(0)=α₀，θ(0)=0

D₀ = min(d₀/s₀, 4.45)（限制在势能面网格与逃逸半径 5.4 以内）。若 KE_rad(R₀)≤0（有效垒高于 E_cm）则轨迹无法到达 R₀，判为无接触/库仑散射。--legacy-init 恢复 v2.2 的局部约定（d₀=30 fm、L=μ₀v_relb、v_r=−v_rel√(1−(b/d₀)²)）。

4.4 能量记账、俘获判据与结局分类

E_pot = V(D,α) − E_∞， E_kin = ½B_Dv_D² + ½B_αv_α²， E_orb = L²/(2I(D))

激发能 E* = 初始机械能 − 当前机械能（摩擦耗散；显示时取 max(0, E*)，图上方即时读数给出 t、E_pot、E_kin、E*）。

俘获判据（结果表徽章）：v2.3 起用纯 BW91* 有效垒 D_min < D̄(L)，其中 D̄(L) = argmax_D[ V_BW91*(D,α₀) + L²/(2I(D)) ] （限制在物理区 R≥R_c），越过即判俘获并给出俘获时刻 t_cap。该判据与经典 BW91* 俘获截面一致。--legacy-capture （或 --capture-criterion branch）恢复越过分支切换线 D_sw(α) 的几何判据（Cassini 衔接仍用 D_sw，见 §3.6）。

结局分类：无接触→库仑散射；未再分离→熔合；再分离时按 E* 与质量漂移分为准弹性（E*<15 MeV）、深部非弹性（漂移<15%）、准裂变（15–85%）、快裂变（≥85%）。

复合核（全俘获）判据与提前终止。 若轨迹出现

|α| ≥ 0.9 且 R < R_B → 判定弹靶全俘获（将形成复合核），动力学终止

则页面在该时刻截断全部帧数据，结局标记为 fusion（复合核：|α|≥0.9 且 R<R_B，已终止动力学）；动画、曲线与 CSV 导出均止于俘获点。 Python 侧（qf_hybrid.py 的 integrate_blend）采用同一判据，命中后终止积分并在输出中标注 compound nucleus。该判据只在近 α 边界（|α₀|≳0.9，轻弹核+重靶）的并合事件中触发；此类体系接近 α 网格（±0.9）边缘，系统研究前宜先扩展网格。

5. 数值实现

势能面：在 (D, α) 网格上构建（粗网格 56×37 → 细网格 111×37； D∈[0,5.5]，α∈[−0.9,0.9]）。页面用局部双三次（Catmull-Rom）插值 提供解析梯度（C¹ 光滑力），与 Python 的 scipy 全局样条在小量级内一致。
WS4 壳面：页面对当前弹靶在线构造 δU(D,α)（α 细网格 181 点），与 Cassini 出射面叠加后一起进入动力学。
时间积分：显式四阶 Runge–Kutta（RK4），步长 dt（默认 1 fm/c）。
缓存：首次计算某体系约数十秒（构建势能面 + 壳面），之后存入浏览器 localStorage（键 qfhyb_v25_<A1_Z1_A2_Z2>[_cass][_shell]）；校验失败（含 NaN 或缺少出射面）会自动丢弃重建。

6. 参数与输出

输入	含义	默认
A₁, Z₁, A₂, Z₂	弹核 / 靶核质量数与电荷数	48,20 / 243,95
b	碰撞参数 (fm)，v2.3 为渐近值	2.5
E_cm/V_B	入射能量与俘获垒之比	1.04
t_max, dt	总时长与步长 (fm/c)	2000, 1
τ_D, τ_α, τ_t	径向 / 质量转移 / 切向（粘滞）耗散时间 (fm/c)，网页可调	200 / 20 / 3000（网页与 Python 一致）
Cassini 修正	出射道用 min(V₁,V₂) + 光滑衔接	关
WS4 壳修正	在裂变/出射支叠加 WS4 锚定 δU(D,α)（入射道不动）	关
PES 视图	入射道 V₁（两瓣）/ 出射道 min(V₁,V₂) 切换显示	入射 V₁

输出

形状画布：核剖面随轨道角 θ 转动，标注 t、D、α、碎片质量 A₁/A₂（及 w_Cass）。
PES 画布：V(D,α) 伪彩图 + 右侧色标（MeV）；白虚线为分支切换线，红线为轨迹，黄点为当前时刻；可在入射/出射面之间切换。
D(t) 与 势能 E_pot(t) 曲线；势能图上方即时读数 （t、E_pot、E_kin、激发能 E*）随动画刷新。
结果表：俘获垒 V_B、R_B、E_cm、L、有效势垒、俘获判据徽章（D_min < D̄(L) + t_cap）、接触/再分离时刻、 D_min、质量漂移、耗散 E*、偏转角（开 Cassini/WS4 时另给出衔接信息）。
导出轨迹 CSV：t, D, α, θ, L, E_pot, E_kin, E_orb （复合核提前终止时长度相应截断）。

7. 适用性与局限

集体坐标仅 (D, α)（Cassini 修正下出射道形状随伸长绝热跟随）， 颈部不是独立自由度；未显式含颈宽/颈深的动力学。
摩擦为唯象（一体耗散），τ_D、τ_α 为可调参数；质量转移的绝对速率对此敏感。
库仑求积对解析球有 ~0.1–1 MeV 量级的网格误差，势垒有相应数值不确定度。
壳修正为 WS4 锚定形式（复合核锚 + 碎片锚 + 鞍点凸起，对称谷垒 = Bf_WS4），不是逐形变的 Strutinsky 计算；无配对关联、无有限温，激发能与形状演化未耦合。
壳修正只作用于裂变/出射支，入射道保持经验 BW91* 势（俘获垒不变，这是刻意的设计选择）。
α 网格 ±0.9：轻弹核+重靶（|α₀|>0.9，如 ⁴He+²³⁸U）超出网格范围。
JS 用局部双三次插值，Python 用全局样条：在"临界俘获刀刃"事件上结论可能不同（其余量如 V_B、b_crit 一致到 ~1%）；无头校验（quickjs）显示真实势能面上 JS 与 Python 的 D_min 一致到 <0.003 fm。
b 为渐近碰撞参数（v2.3 起）：重体系 V(R₀)≈90 MeV，同一数值 b 对应的 L 比 v2.2 的局部约定大约 √(E_cm/(E_cm−V(R₀)))≈1.3；用 --legacy-init 可恢复 v2.2 语义。

8. 参考文献

R. A. Broglia, A. Winther, Heavy Ion Reactions, Frontiers in Physics 84 (Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1991) （BW91 核势）。
R. Bass, Nucl. Phys. A 231, 45 (1974)。
V. V. Pashkevich, Nucl. Phys. A 169, 275 (1971)（Cassini 卵形线形状族）。
K. Okada, T. Wada, R. Capote, N. Carjan, Phys. Rev. C 107, 034608 (2023)（Cassini 裂变 PES）。
W. D. Myers, W. J. Swiatecki, Nucl. Phys. 81, 1 (1966)（液滴模型）。
N. Wang, M. Liu, X. Wu, J. Meng, Phys. Lett. B 734, 215 (2014)（WS4 质量模型，壳修正与裂变垒数据来源）。
V. M. Strutinsky, Nucl. Phys. A 95, 420 (1967)（壳修正方法；本程序用其锚定近似）。
DeepSeek, 耗散时间调研, 2026-09-26